1. Pedro comprou um caderno com 96 folhas, com páginas numeradas de 1 a 192, em ordem crescente.
Vitor arrancou aleatoriamente 25 folhas do caderno e somou todos os 50 números escritos nestas folhas. É possível que essa soma seja 1990?
2. De quantas maneiras poderemos escrever 103 como a soma de dois números naturais primos?
3. Um fazendeiro deseja abater 30 porcos em 5 dias de modo que em cada dia sejam abatidos somente um número ímpar de porcos.
Caso isso seja possível, determine como. Caso seja impossível, explique o motivo.
4. Qual o menor número natural maior do que 1 que divide a soma 3231 + 7513?
a) 2.
b) 3.
c) 7.
d) 10.
5. A metade e o dobro do número 26 são números naturais de dois algarismos. Quantos são os números naturais que possuem essas mesmas propriedades?
a) 15
b) 18
c) 20
d) 22
6. Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos números dos cartões de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões deixados sobre a mesa?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
7. A soma de dois números é 6. O valor máximo do produto entre eles é:
a) um múltiplo de 2;
b) um divisor de 20;
c) um número primo;
d) um múltiplo de 3
8. Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:
a) 111
b) 49
c) 29
d) 5
Solução
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Pedro comprou um caderno com 96 folhas, com páginas numeradas de 1 a 192, em ordem crescente.
Vitor arrancou aleatoriamente 25 folhas do caderno e somou todos os 50 números escritos nestas folhas. É possível que essa soma seja 1990?
Não, pois em cada folha há um número par e um número ímpar. Somando 25 números pares, temos um resultado par. Somando 25 números ímpares, temos um número ímpar. Somando os dois resultados (ímpar + par) temos um resultado ímpar.
2. De quantas maneiras poderemos escrever 103 como a soma de dois números naturais primos?
SOLUÇÃO: Como 103 é ímpar os dois números somados devem ser um par e um ímpar. O único primo par é dois. Assim, a única soma possível é 101 + 2 = 103.
3. Um fazendeiro deseja abater 30 porcos em 5 dias de modo que em cada dia sejam abatidos somente um número ímpar de porcos.
Caso isso seja possível, determine como. Caso seja impossível, explique o motivo.
SOLUÇÃO: Não é possível, pois como são 5 dias, somando o número de porcos abatidos, que deve ser ímpar, obteríamos um resultado ímpar.
4. Qual o menor número natural maior do que 1 que divide a soma 3231 + 7513?
SOLUÇÃO: As duas potências têm base ímpar, logo terão resultado ímpar. A soma de dois ímpares é um número par, consequentemente divisível por 2.
5. A metade e o dobro do número 26 são números naturais de dois algarismos. Quantos são os números naturais que possuem essas mesmas propriedades?
SOLUÇÃO: Um número natural cujo dobro é um número de dois algarismos deve estar entre 5 e 49. Por outro lado, os números pares são aqueles cuja metade é um número natural, o que reduz a nossa escolha, dentre os números no intervalo acima, aos números pares que vão do 6 ao 48. Considerando agora que, além disso, queremos números cujas metades sejam números de dois algarismos, nossa escolha fica restrita aos números pares entre 20 e 48, incluindo o 20 e o 48. Assim os números são 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46 e 48.
6. Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos números dos cartões de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões deixados sobre a mesa?
A soma dos números dos cartões de Ana é 7, logo, ela pegou os cartões de números 1, 2 e 4, pois esta é a única possibilidade de decomposição do número 7 como soma de três parcelas diferentes, cada uma delas compreendida de 1 a 9. Como 23 é ímpar, temos as seguintes alternativas para os números dos cartões de Beto: Os três números são ímpares. Isso é impossível, pois a maior soma possível, nesse caso, é 5 + 7 + 9 = 21, menor do que 23. Um número é ímpar e os outros dois são pares: como Ana está com os cartões de números 2 e 4, a única possibilidade é Beto ter pego os cartões de números 6, 8 e 9. Então, na mesa ficaram os cartões de números 3, 5 e 7. A diferença entre o maior e o menor deles é 7 – 3 = 4.
7. A soma de dois números é 6. O valor máximo do produto entre eles é:
Por hipótese, realize as possíveis adições com resultado 6.
Daí, temos 4+2 = 6 e 33 = 9. Que é múltiplo de 3.
8. Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:
Devem ser números próximos. O maior é 402, o menor 397, daí 402 – 397 = 5.